身長が正規分布に従うことはデータから導ける

要約

　身長の分布は正規分布に従っています。図の実線が実際の17歳男女のデータです。色塗り領域が平均と標準偏差を調整した正規分布です。実線と色塗り領域はほぼ重なっていることがわかるでしょう。

※アイキャッチ画像出典（Unsplash）

全体像

（1）問題の構造

　問い「身長は正規分布なのか？」を、次のように分解します。

①どの集団について身長か

②正規分布とは何か

③身長は、どんな分布に近いのか

（2）前提の選択

　①②を前提として選択します。

（3）論点の選択

　③を論点として選択します。

（4）付録一覧

冗長さを避けて、可読性を上げるために、以下の内容は付録に回します。

「Rコード」

前提

　①17歳日本人の男女別で考えます。

　②正規分布とは、平均と標準偏差が定まれば、一意に定まります。

方法

　17歳日本人の男女の実際の身長分布を

・文部科学省「学校保健統計調査－令和3年度」（調査概要のリンク）（データのリンク）

から入手します。「実際の身長分布を正規分布と比較して似ていたら、身長の分布は正規分布に従う」ということにします。

結果

（１）平均身長と標準偏差

令和3年度の学校保健統計調査によると

・17歳男子：平均170.8cm、標準偏差5.90

・17歳女子：平均158.0cm、標準偏差5.39

です。正規分布は平均と標準偏差が分かれば、ひとつに決定されます。

（２）身長分布と正規分布を比較する

　データからは1cmごとの出現頻度が得られました。青実線が17歳男子の実際の分布、赤実線が17歳女子の実際の分布です。

　これと

・平均170.8cm & 標準偏差5.90の正規分布(青色塗り部分)

・平均158.0cm & 標準偏差5.39の正規分布(赤色塗り部分)

を比較した結果が次の通りです。

　身長分布と正規分布の形状はかなり似ています。

考察

（1）結論

　実際の身長分布を正規分布と比較して似ているので、身長の分布は正規分布に従うと言えるでしょう。

（2）妥当性評価

前提評価

　男女に分けて考えたのはGoodです。

　17歳の日本人という限定された集団についてしか考えていないのがBadです。

方法評価

　文部科学省の「学校保健統計調査－令和3年度」という信頼できるソースから得られたものから、1cmごとに比率のある実際のデータを用いたのはGoodです。

　感覚的な似ているか否かという曖昧な判断基準を採用したのはBadです。

結論評価

　実際のデータの最頻値や分布のすその広がり具合が、正規分布にとても似ている点がGoodです。

　17歳男子の最頻値について、やや正規分布からはみ出している点がBadです。

（3）意義

　身長に隠された法則性が明らかになって面白いです。

付録

シミュレーションは、R言語を用いて行いました。R言語については「しまうまのRでデータ分析入門」をご覧ください。

　美しい図示のため、パッケージとしてggplot2を用いました。

#パッケージの呼び出し。未インストールならインストール！
library(ggplot2) 

　図示↓　（Dataは学校保健統計調査－令和3年度から作成しました）

ggplot(Data)+
  scale_x_continuous(limits = c(140, 190))+
  geom_ribbon(data=data.frame(X=x<-seq(140,190,len=101), Y=dnorm(x,170.8,5.9)),aes(x=X, ymin=0, ymax=Y),col="white",fill="blue",alpha=0.1)+
  geom_ribbon(data=data.frame(X=x<-seq(140,190,len=101), Y=dnorm(x,158.0,5.39)),aes(x=X, ymin=0, ymax=Y),col="white",fill="red",alpha=0.1)+
  geom_line(aes(x = height, y = man_ratio),col="blue")+
  geom_line(aes(x = height, y = woman_ratio),col="red")+
  xlab("身長（cm）") +
  ylab("1cmあたりの出現頻度") +
  ggtitle ("青実線が17歳男子のデータ、赤実線が17歳女子、色塗り部分が正規分布")+　
  theme_grey(base_family = "HiraKakuPro-W3")