コブ・ダグラス型生産関数

経済学用語

 コブ・ダグラス型生産関数(Cobb–Douglas production function)とは、次のような生産関数である。

 アメリカの労働所得がGDPに占める割合が非常に安定していることを発見した経済学者ダグラスが、数学者コブとともに考えた。。

 関連話題は以下で整理する。

1、実証研究で使いやすい対数表記

 コブダグラス型生産関数は、対数表記すると1次式として表せ、回帰分析ができる。

 実際に、ソローはこれを用いて成長会計を設計した。

 証明は以下の通りである。

2、規模に対して収穫一定

(1)収穫一定になる指数の条件

 コブダグラス型生産関数は、次のとき規模に対して収穫一定(CRS)生産関数になる。

(2)証明

 証明は次の通りである。

3、労働分配率・資本分配率

(1)指数の意味

 収穫一定となるコブ・ダグラス型生産関数のもとで企業が利潤最大化をすると、指数αが労働分配率、指数1-αが資本分配率になることがわかっている。

(2)証明

 証明は以下の通りである。

 コブダグラス生産関数(収穫一定バージョン)で、企業が利潤最大化したとき、なぜ売り上げのうち割合α分が労働者の人件費となるのかについて証明する。

1. 利潤の式

まず、利潤πとは、(売り上げ)から(コスト)を引いたものである。

  • (売り上げ)=(値段p )×(生産量y)
  • (コスト)=(労働に対する報酬)+(資本に対する報酬)

 ここで、wを賃金、rを資本レンタル料とすると、次の様に利潤の式を書くことができる。

 ここからはわかりやすく、労働の部分を紫、資本の部分を緑でかくことにする。

2. 企業の利潤最大化と賃金

 ここでは短期の企業利潤最大化行動を考えたい。

 短期では、企業は資本Kは変えられず、労働Lを変えることになる。

3. 労働分配率を求める

 人件費は、(賃金率w)×(労働L)で表せます。ここにいま求めたものをwに代入してやります。

 すると、人件費は売り上げpyのα分であることがわかります。

 ここから、αは労働分配率であるといえるのです。