ミンサー型賃金関数

 労働経済学や計量経済学で頻繁に登場するミンサー方程式・ミンサー型賃金関数ですが、いまいち理解した気になれません。そこで、少しだけ掘り下げてみます。

要約

 「教育年数に関わらず、教育の収益率が一定」という仮定をもつミンサー方程式・ミンサー型賃金関数をいろんな側面から考えました。

1. ミンサー方程式

 ミンサー方程式は

  • 賃金=wage
  • 教育年数=educ
  • 潜在就業経験年数=exper
  • 誤差=u

とすると、

$$\log_e(wage)$$

$$=\beta_0 + \beta_1 educ +\beta_2 exper+ \beta_3 exper^2+u$$

です。特徴は

  • 目的変数がlog(賃金)である
  • 潜在経験年数の2乗項を含む

です。

2. ミンサー型賃金関数

 ミンサー方程式を、賃金= F (教育年数, 潜在経験年数)+誤差項、という形に書き換えます。

$$\log_AK=Bのとき K=A^B$$

を思い出すと、ミンサー方程式は次に書き換えられます。

$$wage=e^{(\beta_0 +\beta_1 educ + \beta_1 exper +\beta_2 exper^2 +u)}$$

※eはネイピア数e=2.718・・・

 これがミンサー方程式のもう一つの姿です。

3. 教育年数を横軸にしたグラフ

 教育年数を横軸にしたミンサー型賃金関数のグラフは、次です。

画像2:縦軸は高卒を1とした賃金、横軸は高卒を0とした教育年数

 これは

と考えて

$$Y=e^{0.09X}$$

を描きました。

4. 潜在経験年数を横軸にしたグラフ

 潜在経験年数を横軸にしたミンサー型賃金関数のグラフは、次です。

これは

と考えて

$$Y=e^{0.041X-0.001 X^2}\times 300$$

を描きました。

5. 教育の収益率 ≒β1

(1)問題

 1年教育年数が増えると伸びる賃金の割合である教育の収益率が

$$(教育の収益率X)≒\beta_1$$

であることを説明します。

(2)正確な教育の収益率

 まず、正確な教育の収益率を計算します。

 ミンサー型賃金関数

$$wage=e^{(\beta_0 +\beta_1 educ + \beta_2 exper +\beta_3 exper^2 +u)}$$

において、教育年数educ以外の条件が同じと考えます。教育年数educ=tとおき、教育年数以外の効果をαとおきましょう。つまり

$$t=educ$$

$$\alpha=\beta_0 + \beta_2 exper +\beta_3 exper^2 +u$$

とすると、ミンサー型賃金関数は

$$wage=f(t)=e^{[\beta_1 t + \alpha]}$$

です。このとき、教育年数だけ1年増えたとき、賃金の変化分は

$$\Delta wage=f(t+1)-f(t)=e^{[\beta_1 (t+1) + \alpha]}-e^{[\beta_1 t + \alpha]}$$

になります。つまり、賃金の変化率(教育の収益率X)は

$$X=\frac{\Delta wage}{wage}$$

$$=\frac{e^{[\beta_1 (t+1)+\alpha]}-e^{[\beta_1 t +\alpha]}}{e^{[\beta_1 t+\alpha ]}}$$

$$=\frac{e^{[\beta_1+\beta_1 t+\alpha]}}{e^{[\beta_1 t+\alpha ]}}-1$$

$$=e^{\beta_1}-1$$

です。これが教育年数を1年伸ばしたときの賃金の変化率(=教育の収益率)の正確な数値です。

(3)教育の収益率の近似値

 教育の収益率がだいたい-10%から10%程度であれば、教育の収益率はβ1に近似できます。

$$(教育の収益率X)=e^{\beta_1}-1≒\beta_1$$

は実際に作図することで示すことができます。下の画像より、β1が0に近い場合、上式が成り立つことがわかります。

6. 教育の収益率一定という重要な仮定

 教育年数t以外を一定としたときのミンサー型賃金関数

$$wage=f(t)=e^{\beta_1t+\alpha}$$

において、教育年数tを限りなく0に近いε増やしたときの賃金増加分は

$$d \; wage=f'(t)=\beta_1 \; e^{\beta_1t+\alpha}$$

になります。つまり、賃金の変化率は

$$\frac{f'(t)}{f(t)}=\frac {\beta_1\; e^{\beta_1t+\alpha}}{e^{\beta_1t+\alpha}}=\beta_1$$

です。これがミンサー型賃金関数における教育の限界収益率です。

 教育の限界収益率は、教育年数tにかかわらず、β1で一定です。したがって、教育の収益率も一定です。

 これがミンサー型賃金関数、ミンサー方程式がもっている重要な仮定の一つです。

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