スルツキー分解とは?図と数式でわかりやすく解説

 スルツキー分解(Slutsky identity)とは、価格変化による需要変化を

  • 代替効果:相対価格変化の影響
  • 所得効果:実質的な所得変化の影響

の2つの要因にわけて考えることです。

 ミクロ経済学消費者理論に分類される議論です。

 ここでは、グラフと数式での解説を行います。

<具体例>

 お小遣いが週500円の小学生が、毎週、300円のアイスと100円のガムを買っているとします。

 ここでアイスが300円から100円に値下がりすると、小学生は割安なアイスをたくさん買うようになります。これが代替効果です。

 さらに、普段300円払っていたアイスが安くなるわけですから、実質的にはお小遣いが増額したようなものです。このために100円のガムもたくさん買うようになります。これが所得効果です。

<結論だけ知りたい人向け>

価格変化(全部変化)を所得効果と代替効果にスルツキー分解した画像

1、所得効果と代替効果のグラフ理解

 2財モデルのスルツキー分解をグラフで考えていきます。

(1)予算制約の下での効用最大化とは?

 ミクロ経済学では「人間は合理的に行動する」と考えます。

 ここでの合理的というのは、効用最大化支出最小化を意味します。

 こうして得られた最適消費点は、次のように無差別曲線予算制約線の接点にあります。

(2)値上がりした場合の予算制約線の変化

 さて、ここで1財の価格が値上がりしたとします。

 すると下のように予算制約線の傾きが急になります。

 消費者は合理的ですから、予算制約下での効用最大化をします。

 こうして、無差別曲線と新しい予算制約線の接点に、新しい最適消費点が形成されます。

(3)最適消費点の変化

 さあ、やっと「価格が変わるとどう需要量が変わるのか?」がわかりました。

 ここからスルツキー分解のはじまりです。

予算制約下の効用最大化問題を2財モデルのグラフによって図示し、1財が値上がりした場合としていない場合の最適消費点を比較した画像

(4)値上がりしても効用が変わらない場合

 ここで一つ思考実験をします。

 値上がりしても効用が変わらない消費をするために、一番安い予算はどんな予算制約線で表されるでしょうか?

 値上がりしているので傾きは急になる中で、支出最小化すると、もともとの無差別曲線上の点に接する予算制約が考えられます。

予算制約下の効用最大化問題を2財モデルのグラフによって図示し、1財が値上がりした場合における費用最小化問題をといたときの予算制約線を特別に強調した画像

(5)グラフでのスルツキー分解

 価格による消費量の変化は、図のように

  • 割安な商品を買うようになる=予算制約線の傾きの変化による代替効果
  • 実質的な所得の変化=予算制約線の平行移動による所得効果

 に分けられるのです!

 なお、これらを合わせた全部の効果を価格効果、または、全部効果といいます。

価格変化(全部変化)を所得効果と代替効果にスルツキー分解した画像

2、数式によるスルツキー分解の導出

 次に、数式と微分によってスルツキー分解を導出したいと思います。

(1)需要関数と補償需要関数

 まず、はじめに消費者の行動を次のような関数で表します。

需要関数と補償需要関数の定義

 はじめの関数は需要関数、次の関数は補償需要関数といいます。

(2)消費の双対性

 さきほどの関数ですが、最適消費点では数値は同じはずです。

 なぜなら、合理的な消費者なら、「予算の中の効用最大化」と「同じ効用の中での費用最小化」を同時に達成しているからです。

 このように効用最大化と費用最小化が表裏一体の現象であることを、消費の双対性といいます。

消費の双対性

(3)実質所得の変化

 ここで一旦脱線します。

 「ある財の価格が1円増えると、所得は実質的にどれほど失われるでしょうか?」

 これは簡単に考えることができます。

  • 支出A=価格P×数量X

です。この価格が1増えると

  • 支出B=(価格P+1)×数量X=支出A+数量X

です。

 支出がより、X円分、増えています。

 したがって、「ある財の価格が1円増えると、所得は実質的にX円失われた」といえます。

 これを一般化して考えたのがシャファードの補題です。

(4)微分によるスルツキー分解

 消費の双対性とシェファードの補題をもちいると、次のように計算できます。

数式と微分によるスルツキー分解

(5)数式の言語化

 「なんのこっちゃあ」と思われたと思います。ご安心ください。多分、他の学生もよくわかってません笑

 ただ、ここで最終的に何が導かれたのかだけは押さえておきましょう。

(6)グラフと数式の統一的な理解へ

 上の数式をみると、

  • 代替効果は、効用水準下での費用最小化を意味する補償需要関数
  • 所得効果は、予算制約下での効用最大化を意味する需要関数

によって表されていることがわかります。

 ここでグラフでの議論を思い出してみましょう。

価格変化(全部変化)を所得効果と代替効果にスルツキー分解した画像

 代替効果はあそこで「効用水準下の費用最小化」によって、所得効果はあそこで「予算制約下での効用最大化」によって論じていました。

 つまり、本質的にはグラフも数式にも通底する同じ発想があったのです!

 これで図と数式によるスルツキー分解の理解は完璧です。

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わかりやすいです!
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2030さん、は〜い笑
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こんにちは^ー^
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やっはろー
しまうま
3295さん、3498さん、こんにちは〜
まれびと5147
めっちゃ分かりやすい
まれびと5147
大学の先生より分かりやすい
しまうま
5147さん、ありがとうございます!ウレシイ!どちらの記事でしょうか?
しまうま
みなさまもぜひコメント残していってください
まれびと9305
正の外部性を内部化する為の補助金は、何故私的最適均衡点でなく社会最適均衡点に合わせて出されるのですか?補助金で外部経済が内部化されるのはわかりますが、初めにあった死荷重はどうなった?外部経済・死荷重にも重ならない分の補助金(右端の三角形)はどうなるんです?ご教授下さい…
しまうま
9305さん、ご質問ありがとうございます。ご質問3点は、正の外部性のページにある図4〜図8を順番に見ていただければ解決すると思います。1点目は図4〜図8、2点目は図4・図5・図7、3点目は図4・図7が対応しています。
まれびと4054
賃金に所得税が課されると労働時間はどうなるでしょうか?
しまうま
4054さん、コメントありがとうございます。結論からいえば、「場合による」が答えになります。合理的な労働者目線で、所得税課税は賃下げと同義です。単純にみれば、労働のインセンティブが減るので、労働時間が減ります※1。これがスタンダードな結論です。しかし、無差別曲線理論では、賃下げで労働時間が増える合理的な行動の存在を予想しています※2。労働曲線の後方屈曲性という現象です。例えば、時給5000円で月8時間家庭教師する東大生が、国に時給当たり所得税3000円を徴収されたら、生活水準を維持するために労働時間を増やすでしょう。もともと月4万円のバイト収入があったのに課税で1.6万円になったのでは、デート回数を減らすことになるのだから仕方ありません。これは所得税課税で労働時間が伸びる例です。他の
しまうま
賃金と労働時間に関する興味深い例(こちらは所得税とは関係ありませんが...)にはニューヨークのタクシー運転手の例があります。彼らは時給が上がると、労働時間を減らすらしいのです。面白いですよね。なお、※に対応する当ブログ記事は※1→「https://info-zebra.com/koyo-kettei/」、※2→「https://info-zebra.com/roudo-kyokyu/」です。
しまうま
みなさまもぜひコメント残していってください。近況とか聞きたいです
まれびと14623
おはよー
しまうま
14623さん、おはようございます!
まれびと16226
負の外部性の記事で、常体と敬体がごっちゃになっています。
しまうま
16226さん、ご指摘ありがとうございます。修正しました。
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 万人の共通言語となる世界観を追い求めて、ブログを執筆しています。
 
<経済学について>
【可能性】万人にとってよい社会を構想する共通言語になりうる
【長所1】個別的な議論を排し、統一的に説明する
【長所2】ゼロかイチかの極論を排し、最適点を導く
【長所3】独善的あるいは自傷的な社会通念を排し、価値観や能力の多様性を重視する
【短所】体系的な知識が必要であり、難しい

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