生産関数

経済学用語

 生産関数(Production function)とは、生産要素を入力すると、生産量が出力される関数である。

 生産要素として、資本K労働Lがよく取り上げられる。ここに土地、技術を加えることもある。

 また、数学的には

  • 生産量Y=F(L , K)

と定式化されることが多い。

1、生産関数とは

(1)意味

 生産関数とは、生産要素を入力すると生産量Yが出力される関数です。

 生産要素とは、労働L資本Kのような生産に関わる経営資源です。

 例えば、商品を1個生産する従業員をL人、商品を6個生産する機械をK台投入したら、産出量はL+10Kとなります。

 このとき、生産関数は

Y=F(L, K)= L+10K

 となります。

 生産関数は英語でProduction functionですので、Pを関数表示に使いたいですが、Pは価格Priceで使われています。

 そこで、関数はfunctionのfをもちいて、F(L, K)と書きます。

(2)関連話題

 生産関数は、経営資源を配置すれば何が生まれるかを表しています。

 費用関数と並び、利潤最大化と大きな関わりを持っている概念です。

 また、生産関数から出力される生産しく固定して、生産要素の分配を変えることは等量曲線で表せます。

 生産関数と等量曲線は混乱しやすいので、注意しましょう。

2、生産関数の性質

 生産関数の性質には大きく分けて二つの側面があると考えられます。

 一つが限界生産力についてで、もう一つが規模に対する収穫についてです。

 それぞれ見ていきましょう。

(1)限界生産力逓減の法則

 生産関数には、限界生産性逓減の法則という性質があると考えられます。

 これは一つの生産要素を追加すると新しく増加する生産量(=限界生産力)が、どんどん減っていくという法則です。

 これは効率の高い生産要素から稼働していくからです。

 グラフで表すと、下のようになります。

 問題で設定される多くの生産関数ではこの性質が採用されています。

 ただし、初期においては生産要素を増やすと、相乗効果で限界生産力が逓増することがあります。

 これをグラフで表すと下のようになります。

(2)規模に対する収穫

 さて、限界生産力逓減は一つの生産要素に注目した概念でした。

 一方で、すべての生産要素を同時に増やしたときの概念が、「規模に対する収穫」です。

 すべての生産要素を同時にt倍したとき、生産量がt倍になることを収穫一定といいます。

 このとき、F(tL, tK)=tF(L, K)と書くことができます。

 収穫一定(CRS:Constant Returns to Scale)は、よく生産関数の仮定になっています。

 なお、

  • 生産量がt倍より大きくなるとき、収穫逓増
  • 生産量がt倍より大きくなるとき、収穫逓減

といいます。

3、生産関数の種類

 最後によく考えられる生産関数を簡単にご紹介します。

(1)コブダグラス型生産関数

 一番使われる関数が、コブダグラス型関数です。

 次のようにLをα乗、Kをβ乗するような関数です。

 実は、β=1−αのとき収穫一定になります。

 これらのためにコブダグラス型関数はよく使われるのです。

(2)線形型生産関数

 最も単純な生産関数が、線形型生産関数です。

 記事の最初に例に出したF(L, K)= L+10Kは線形型生産関数です。

 ただし、限界生産力逓減の法則は表せないという欠点があります。

(3)レオンチェフ型生産関数

 一番少ない生産要素に合わせて生産量が決まるという生産関数もあります。

 レオンチェフ型生産関数です。

 例えば、ハンバーグを作る機械が100台あっても、パンズを作る機械が1台しかなければ、パンズを作る機械の限界個数しかハンバーガーを作ることはできません。

 このような場合を記述することができます。

(4)CES型生産関数

 最後はCES型生産関数です。

 これはコブダグラス型と同じで収穫一定となる生産関数です。