ラグランジュの未定乗数法は、問題Aのような制約付き最適化問題の解法の一つだ。まず、ラグランジュ乗数と呼ばれる未知の定数λを用いて、ラグランジュ関数Lを作る。次に、ラグランジュ関数Lを最大化させる(x,y,λ)を求める。この(x,y)がもともとの制約条件付き最適化問題の解である。ラグランジュの未定乗数法は「制約付き最適化問題」を単なる「最適化問題」に帰着させられる便利な方法だ。
$$問題A：制約条件g(x,y)=0でf(x,y)を最大化する(x,y)は？$$
$$手順１：ラグランジュ関数L(x,y,\lambda)=f(x,y) + \lambda g(x,y)$$
$$手順2：Lをx、y、λで偏微分してゼロになる(x,y)を求める$$
$$\frac{ \partial L(x,y,\lambda)}{\partial x}=0$$
$$\frac{ \partial L(x,y,\lambda)}{\partial y}=0$$
$$\frac{ \partial L(x,y,\lambda)}{\partial \lambda}=0$$
ここで、予算制約下での効用最大化問題を解いてみよう。ミクロ経済学で頻出のコブ・ダグラス型効用関数を想定する。Uが効用関数、Xは財Xの量、Yが財Yの量、Pが価格、Iが予算である。人は予算I内で効用Uを最大化する。また、maxは最大化、s.t.は制約条件を意味する。
$$問題B：\max_{X,Y} U(X, Y) = X^\alpha Y ^{\beta}$$
$$s.t. I =P_X X+ P_Y Y$$
$$制約条件はg(X,Y)=I – P_X X- P_Y Y=0$$
$$ラグランジュ関数を次のように設定する$$
$$L(X, Y, \lambda) = X^\alpha Y^{\beta} + \lambda (I – P_X X- P_Y Y)$$
$$ラグランジュの未定乗数法は制約条件付き最適化問題を$$
$$制約条件なしの最適化問題に書き換えられることなので$$
$$\max_{X,Y,\lambda} L(X, Y, \lambda) = X^\alpha Y^{\beta} + \lambda (I – P_X X- P_Y Y)$$
$$ラグランジュ関数の一階条件で3つ立式できる。$$
$$\frac{\partial L}{\partial X}=\frac{\partial L}{\partial Y}=\frac{\partial L}{\partial \lambda}=0$$
$$\frac{\partial L}{\partial X}=\alpha X^{\alpha-1} Y^{\beta}- \lambda P_X=0…式(1)$$
$$\frac{\partial L}{\partial Y}=\beta X^{\alpha} Y^{\beta-1}- \lambda P_Y=0…式(2)$$
$$\frac{\partial L}{\partial \lambda}=I-P_X X- P_Y Y=0…式(3)$$
$$式(1)、式（2）をλでまとめるのがコツで$$
$$\lambda=\frac{\alpha}{P_X} X^{\alpha-1} Y^{\beta}…式(4)$$
$$\lambda=\frac{\beta}{P_Y} X^{\alpha} Y^{\beta-1}…式（5）$$
$$式(4)と式(5)の右辺は等しいので$$
$$\frac{\alpha}{P_X} X^{\alpha-1} Y^{\beta}=\frac{\beta}{P_Y} X^{\alpha} Y^{\beta-1}$$
$$\frac{\alpha}{P_X}Y (X^{\alpha-1} Y^{\beta-1})=\frac{\beta}{P_Y} X (X^{\alpha-1} Y^{\beta-1})$$
$$\frac{\alpha}{P_X} Y=\frac{\beta}{P_Y} X$$
$$y =\frac{\beta P_X}{\alpha P_Y}X…式(6)$$
$$式(6)を式(3)の予算制約式に代入すると$$
$$P_X X + P_Y \left(\frac{\beta P_X}{\alpha P_Y}X \right)=I$$
$$\frac{\alpha P_X}{\alpha }X+ \frac{\beta P_X}{\alpha}X=I$$
$$\frac{(\alpha +\beta)P_X }{\alpha }X= I$$
$$X=\frac{\alpha}{(\alpha + \beta)P_X}I…式(7)$$
$$式(7)で求まったXを式(6)に代入して$$
$$Y =\frac{\beta P_X}{\alpha P_Y}\frac{\alpha}{(\alpha + \beta)P_X}I$$
$$Y=\frac{\beta}{(\alpha + \beta)P_Y}I…式(8)$$
$$よって(X,Y)=\left( \frac{\alpha}{(\alpha + \beta)P_X}I, \frac{\beta}{(\alpha + \beta)P_Y}I \right)$$
ラグランジュ乗数λは、貨幣の限界効用を意味する。ラグランジュ乗数λが「金銭の大小」の単位を「効用の大小」の単位に変換していると解釈できる。λは「1円増えると効用がいくら増えるか？」という貨幣の限界効用を表す。もし貨幣の限界効用が一定であるならば、効用をλで割ると、効用を貨幣単位で表すことができる。すると、政策分析の分野で使われる費用便益分析に使える。
$$ラグランジュ関数:L(X, Y, \lambda) = X^\alpha Y^{\beta} + \lambda (I – P_X X- P_Y Y)$$
$$L＝効用+\lambda（予算ー支出）$$
$$貨幣換算の効用\frac{L}{\lambda}＝\frac{効用}{\lambda}+（予算ー支出）$$