ラグランジュの未定乗数法は、問題Aのような制約付き最適化問題の解法の一つだ。まず、ラグランジュ乗数と呼ばれる未知の定数λを用いて、ラグランジュ関数Lを作る。次に、ラグランジュ関数Lを最大化させる(x,y)を求める。この(x,y)がもともとの制約条件付き最適化問題の解である。ラグランジュの未定乗数法は「制約付き最適化問題」を単なる「最適化問題」に帰着させられる便利な方法だ。
$$問題A：制約条件g(x,y)=0でf(x,y)を最大化する(x,y)は？$$
$$手順１：ラグランジュ関数L(x,y,\lambda)=f(x,y) + \lambda g(x,y)$$
$$手順2：Lをx、y、λで偏微分してゼロになる(x,y)を求める$$
$$\frac{ \partial L(x,y,\lambda)}{\partial x}=0$$
$$\frac{ \partial L(x,y,\lambda)}{\partial y}=0$$
$$\frac{ \partial L(x,y,\lambda)}{\partial \lambda}=0$$
ここで、予算制約下での効用最大化問題を解いてみよう。ミクロ経済学で頻出のコブ・ダグラス型効用関数を想定する。Uが効用関数、Xは財Xの量、Yが財Yの量、Pが価格、Iが予算である。人は予算I内で効用Uを最大化する。また、maxは最大化、s.t.は制約条件を意味する。
$$問題B：\max_{X,Y} U(X, Y) = X^\alpha Y ^{\beta}$$
$$s.t. I =P_X X+ P_Y Y$$
$$制約条件はg(X,Y)=I – P_X X- P_Y Y=0$$
$$ラグランジュ関数を次のように設定する$$
$$L(X, Y, \lambda) = X^\alpha Y^{\beta} + \lambda (I – P_X X- P_Y Y)$$
$$ラグランジュ関数の一階条件で3つ立式できる$$
$$\frac{\partial L}{\partial X}=\frac{\partial L}{\partial Y}=\frac{\partial L}{\partial \lambda}=0$$
$$\frac{\partial L}{\partial X}=\alpha X^{\alpha-1} Y^{\beta}- \lambda P_X=0…式(1)$$
$$\frac{\partial L}{\partial Y}=\beta X^{\alpha} Y^{\beta-1}- \lambda P_Y=0…式(2)$$
$$\frac{\partial L}{\lambda}=I-P_X X- P_Y Y=0…式(3)$$
$$式(1)、式（2）をλでまとめるのがコツで$$
$$\lambda=\frac{\alpha}{P_X} X^{\alpha-1} Y^{\beta}…式(4)$$
$$\lambda=\frac{\beta}{P_Y} X^{\alpha} Y^{\beta-1}…式（5）$$
$$式(4)と式(5)の右辺は等しいので$$
$$\frac{\alpha}{P_X} X^{\alpha-1} Y^{\beta}=\frac{\beta}{P_Y} X^{\alpha} Y^{\beta-1}$$
$$\frac{\alpha}{P_X}Y (X^{\alpha-1} Y^{\beta-1})=\frac{\beta}{P_Y} X (X^{\alpha-1} Y^{\beta-1})$$
$$\frac{\alpha}{P_X} Y=\frac{\beta}{P_Y} X$$
$$y =\frac{\beta P_X}{\alpha P_Y}X…式(6)$$
$$式(6)を式(3)の予算制約式に代入すると$$
$$P_X X + P_Y \left(\frac{\beta P_X}{\alpha P_Y}X \right)=I$$
$$\frac{\alpha P_X}{\alpha }X+ \frac{\beta P_X}{\alpha}X=I$$
$$\frac{(\alpha +\beta)P_X }{\alpha }X= I$$
$$X=\frac{\alpha}{(\alpha + \beta)P_X}I…式(7)$$
$$式(7)で求まったXを式(6)に代入して$$
$$Y =\frac{\beta P_X}{\alpha P_Y}\frac{\alpha}{(\alpha + \beta)P_X}I$$
$$Y=\frac{\beta}{(\alpha + \beta)P_Y}I…式(8)$$
$$よって(X,Y)=\left( \frac{\alpha}{(\alpha + \beta)P_X}I, \frac{\beta}{(\alpha + \beta)P_Y}I \right)$$
ミクロ経済学のテストでラグランジュの未定乗数法を使うことができる。また、コブ・ダグラス型効用関数の場合はテストで頻出なので、結果をそのまま覚えてもいいかもしれない。その際はちょっとしたコツがある。コブ・ダグラス型効用関数は「価格が変わっても、それぞれの財への支出割合は一定」という行動が合理的になるという性質を覚えておくのだ。例えば、X財が食費、Y財が他の財なら、α/(α+β)がエンゲル係数である。例えば、X財が住宅費、Y財が他の財なら、α/(α+β)が住宅費割合である。ちなみに、エンゲル係数は25%程度、住宅費割合は手取りの3分の1とされ、支出割合一定という性質は一部の現実を反映している。
$$X財への支出=P_X X=\frac{\alpha}{\alpha + \beta}I$$
$$Y財への支出=P_Y Y=\frac{\beta}{\alpha + \beta}I$$
$$P_X：財Xの価格、X：財Xの量、I：予算$$
$$\alpha、\beta：効用関数のパラメーター$$
【追記】
ラグランジュ乗数λは、貨幣の限界効用を意味する。説明しよう。ラグランジュ関数は
$$L(X, Y, \lambda) = X^\alpha Y^{\beta} + \lambda (I – P_X X- P_Y Y)$$
だが、これを
$$L＝効用+\lambda（予算ー支出）$$
と変換すると、ラグランジュ乗数λが、「金銭の大小」の単位を、「効用の大小」の単位に変換していると解釈できる。つまり、λは「1円増えると効用がいくら増えるか？」という貨幣の限界効用を表す。
逆に、効用をλで割ると、効用を貨幣単位で表すことができる。すると、政策分析の分野で使われる費用便益分析に使える。
$$貨幣換算の効用\frac{L}{\lambda}＝\frac{効用}{\lambda}+（予算ー支出）$$
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