コブ・ダグラス型効用関数（Cobb-Douglas utility function）とは、次の形の効用関数である。
$$一般形：U(X_1,X_2, \cdots X_N)=k X_1^{\alpha_1} X_2^{\alpha_2} \cdots X_N^{\alpha_N}$$
$$1財モデル：U(X)=k X^{\alpha}$$
$$2財モデル：U(X,Y)=k X^{\alpha} Y^{\beta}$$
最頻出形のコブ・ダグラス型効用関数にて、予算制約下での効用最大化問題を解くと、次の答えが得られる。なお、Xが財Xの消費量、Yが財Yの消費量、Pxが財Xの価格、Pyが財yの価格、Iが予算である。（←計算は「ラグランジュの未定乗数法について」へ）
$$効用最大化問題：\max_{X,Y} U(X, Y) = X^\alpha Y ^{\beta}$$
$$予算制約：I =P_X X+ P_Y Y$$
$$最適消費計画(X,Y)=\left( \frac{\alpha}{(\alpha + \beta)P_X}I, \frac{\beta}{(\alpha + \beta)P_Y}I \right)$$
$$最適支出計画(P_X X, P_Y Y)=\left( \frac{\alpha}{(\alpha + \beta)}I, \frac{\beta}{(\alpha + \beta)}I \right)$$
コブ・ダグラス型効用関数では「価格が変わっても、それぞれの財への支出割合は一定」という行動が合理的になる。例えば、X財が食費、Y財が他の財なら、α/(α+β)がエンゲル係数である。例えば、X財が住宅費、Y財が他の財なら、α/(α+β)が住宅費割合である。ちなみに、エンゲル係数は25%程度、住宅費割合は手取りの3分の1とされ、支出割合一定という性質は一部の現実を反映している。
【問題】
問１【１財のみ変化・限界効用】N財のコブ・ダグラス型効用関数の第１財の限界効用（MU, merginal utiliry）を求めよ。
$$U(X_1,X_2, \cdots X_N)=k X_1^{\alpha_1} X_2^{\alpha_2} \cdots X_N^{\alpha_N}$$
$$1財の限界効用MU_1=\frac{\partial U(X_1,X_2, \cdots X_N)}{ \partial X_1}$$
問２【２財のみ変化：限界代替率】N財のコブ・ダグラス型効用関数の第１財と第２の限界代替率（MRS, marginal rate of substitution）を求めよ。なお、限界代替率は、次のように限界効用の比であることを用いて良い。
$$MRS_{1,2}=\frac{MU_1}{MU_2}$$
問３【N財が変化・n次同次性】すべての財の消費量をλ（>0）倍にしたとき、効用は何倍になるか（１）。また、すべての財の消費量をλ（>0）倍にしたとき、効用がλ倍になるのはどんなときか。（２）
問４【パラメーター・k】パラメーターk（>0）が増加すると、何が変わるのか（１）。また、最適消費計画に何か影響を及ぼすか（２）。また、限界代替率＝相対価格で最適消費が決定されることを用いて良い。
$$MRS_{1,2}=\frac{MU_1}{MU_2}=\frac{P_1}{P_2}$$
問５【パラメーター・α】パラメーターα1が増加すると、何が変わるのか。また、限界代替率＝相対価格で最適消費が決定されることを用いて良い。
【回答】
問１【１財のみ変化・限界効用】N財のコブ・ダグラス型効用関数の第１財の限界効用（MU, merginal utiliry）を求めよ。
$$U(X_1,X_2, \cdots X_N)=k X_1^{\alpha_1} X_2^{\alpha_2} \cdots X_N^{\alpha_N}$$
$$MU_1=\frac{\partial U(X_1,X_2, \cdots X_N)}{ \partial X_1}$$
$$= \alpha_1 k X_1^{\alpha_1-1} X_2^{\alpha_2} \cdots X_N^{\alpha_N}$$
$$= \frac{\alpha_1}{X_1}k X_1^{\alpha_1} X_2^{\alpha_2} \cdots X_N^{\alpha_N}$$
問２【２財のみ変化：限界代替率】N財のコブ・ダグラス型効用関数の第１財と第２の限界代替率（MRS, marginal rate of substitution）を求めよ。なお、限界代替率は、次のように限界効用の比であることを用いて良い。
$$MRS_{1,2}=\frac{MU_1}{MU_2}$$
$$MRS_{1,2}=\frac{MU_1}{MU_2}=\frac{\alpha_1 k X_1^{\alpha_1-1} X_2^{\alpha_2} \cdots X_N^{\alpha_N}}{\alpha_2 k X_1^{\alpha_1} X_2^{\alpha_2-1} \cdots X_N^{\alpha_N}}$$
$$=\frac{\alpha_1 X_2}{\alpha_2 X_1}$$
問３【N財が変化・n次同次性】すべての財の消費量をλ（>0）倍にしたとき、効用は何倍になるか（１）。また、すべての財の消費量をλ（>0）倍にしたとき、効用がλ倍になるのはどんなときか。（２）
$$U(\lambda X_1,\lambda X_2, \cdots \lambda X_N)$$
$$=k (\lambda X_1)^{\alpha_1} (\lambda X_2)^{\alpha_2} \cdots (\lambda X_N)^{\alpha_N}$$
$$=\lambda^{\alpha_1 + \alpha_2+\cdots + \alpha_N} k X_1^{\alpha_1} X_2^{\alpha_2} \cdots X_N^{\alpha_N}$$
$$=\lambda^{\alpha_1 + \alpha_2+\cdots + \alpha_N} U(X_1,X_2, \cdots X_N)$$
$$よって、\lambda^{\alpha_1 + \alpha_2+\cdots + \alpha_N}倍になる。・・・（１）$$
$$すべての財の消費量をλ倍にしたとき、効用がλ倍になるのは$$
$$\lambda^{\alpha_1 + \alpha_2+\cdots + \alpha_N}=\lambdaより$$
$$\alpha_1 + \alpha_2+\cdots + \alpha_N=1・・・（２）$$
問４【パラメーター・k】パラメーターk（>0）が増加すると、何が変わるのか（１）。また、最適消費計画に何か影響を及ぼすか（２）。また、限界代替率＝相対価格で最適消費が決定されることを用いて良い。
$$（１）効用水準が高まる＝ハッピーになる。$$
$$（２）限界代替率に影響を与えないので、消費計画には影響を与えない。$$
$$MRS_{1,2}=\frac{\alpha_1 X_2}{\alpha_2 X_1}$$
問５【パラメーター・α】パラメーターα1が増加すると、何が変わるのか。また、限界代替率＝相対価格で最適消費が決定されることを用いて良い。
$$MRS_{1,2}=\frac{MU_1}{MU_2}=\frac{P_1}{P_2}$$
$$MRS_{1,2}=\frac{\alpha_1 X_2}{\alpha_2 X_1}=\frac{P_1}{P_2}$$
$$\cdots$$
$$MRS_{1,N}=\frac{\alpha_1 X_N}{\alpha_N X_1}=\frac{P_1}{P_N}$$
$$より、パラメーターα1が増加すると、１財の消費量が増え、2〜N財の消費量が減る。$$