人生の目的は、幸せになることである。けれども、価値観は人によって異なる。多様な価値観の中でも、幸せになるための一般理論を構築しよう。
前提
定義
本章では、以下の定義を用いる。
・財（X：Goods）：価値のあるもの。n種類ある。
・価格（P：Price）：財１単位を手にいれることで支払う代償。
・富（W：Wealth）：財を手に入れるために使える私有財産。
・選好（preference）：２つの財を比較して、どちらが好ましいかを判断すること。
・効用（Utility）：財を選ぶことによって得られる幸福度。
・効用関数（U（・）：Utility function）：好ましさを判断する価値観。財を入力すると、効用が出力される関数。n種類の財についての効用関数は
$$n財の効用関数：U(X_1,X_2, \cdots X_n)$$
・限界効用（MU：Marginal utility）：効用関数を財で微分したもの。財を１単位増やしたときに、増える効用を意味する。財1の限界効用は
$$財1の限界効用=\frac{ \partial U(X_1,X_2, \cdots X_n)}{ \partial X_1}$$
・限界代替率（MRS：Marginal rate of substitution）：財１の消費を１単位増やした際に、同一の効用水準Uを維持するために、消費をやめなければならない財２の量。財1の消費量、効用水準によって決定される。
※限界代替率は、財１を、財２を基準に相対的に評価した主観的交換比率と解釈できる。
$$限界代替率=MRS(X_1,U)=-\frac{d X_2}{d X_1} \Bigg|_{U(X_1,X_2)=U}$$
・価格比：財１の価格を財２の価格で割ったもの。財１の消費を１単位増やした際に、同一の支出を維持するために、消費をやめなければならない財２の量。
※財１を、財2を基準に相対的に評価した客観的交換比率と解釈できる。
$$価格比=\frac{P_1}{P_2}$$
・無差別曲線（Indifference curve）：同様に好ましい財1と財２の組み合わせをグラフにした曲線。
・予算制約線（Budget constraint line）：富を使い果たす財1と財２の組み合わせグラフにした直線。
・価格効果：価格の変化による消費への影響。
・代替効果：価格比の変化による消費への影響。
・所得効果：所得の変化による消費への影響。
仮定
本章では、以下を仮定する。
仮定3-1：人は実現可能な最も好ましい意思決定を行う。※人はできる範囲で最も幸せになることを目指すと仮定する。
仮定3-2：制約条件を満たさない行動は実現できない。※制約には、例えば「予算以上の消費はできない」という富の制約、「与えられた時間を超えて活動できない」という生理的な制約、「能力を超えた成果は残せない」という技術的な制約がある。
仮定3-3：選好について、完備性（Completeness）が成り立つ。選択肢の好ましさは比較可能である。任意の二つの選択肢A,Bについて、「AはBより好ましい」か「BはAより好ましい」か「AとBは同じくらい好ましい」のどれかが成り立つ。※完備性と推移性によって、首尾一貫した価値観が表現できる。
仮定3-4：選好について、推移性（Transitivity）が成り立つ。好ましさの大小関係は矛盾しない。「AはBより好ましい」かつ「BはCより好ましい」ならば「AはCより好ましい」が成り立つ。※完備性と推移性によって、首尾一貫した価値観が表現できる。
仮定3-5：選好を表現できる効用関数Uが存在する。任意の二つの選択肢A,Bについて、AはBより好ましいのならばU(A)>U(B)、AとBは同じくらい好ましいのならばU(A)=U(B)となる関数Uが存在する。※効用関数とは、価値観であると解釈できる。効用関数概念によって、具体的な価値観の違いや良し悪しに依存せずに、万人にとっての幸せを統一的に論じることができる。
仮定3-6：財の量は、限りなく細かく調整である。※微分を可能にするために仮定する。
仮定3-7：効用関数は微分可能で、その導関数は連続である。※微分を可能にするために仮定する。
仮定3-8：限界効用は0より大きい。財iを追加的に１単位増やした際、効用は必ず増加する。※財を価値あるものとして定義しているため。
$$財iの限界効用=\frac{ \partial U(X_1,X_2, \cdots X_n)}{ \partial X_i}>0$$
仮定3-9：限界代替率は0より大きい。※「限界効用は正」から導かれる。すでに限界効用は0より大きいことを仮定しているので、財１がどんなに大きくても、財１の消費を１単位増やした際に、同一の効用水準を維持するために、消費をやめなければならない財２の量は正になるからである。
$$限界代替率=MRS(X_1,U)>0$$
仮定3-10：限界代替率は逓減する。限界代替率がX1で微分可能であるとすると、
$$限界代替率=\frac{ \partial MRS(X_1,U)}{\partial X_1 } <0$$
である。つまり、財１の消費量が大きくなると、財１の消費を１単位増やした際に、同一の効用水準を維持するために、消費をやめなければならない財２の量は減っていく。※財１の希少性が減ると、財１ではなく財２をより好ましいと感じると仮定する。
仮定3-11：財の価格P、利子率r、時給wは自分の意思で変えられない。※無数の人々の間で決まる需要と供給によって価格は決まるので、一人の意思では価格は変えられないと仮定する。
その他の知識
本章では、以下の知識を用いる。
・幾何（共有点、接点、接線）
・座標平面（直線）
・微積分（偏微分、全微分、ラグランジュの未定乗数法）
・数列（総和Σの記号、総乗Πの記号）
・集合（maxの記法、minの記法）
命題
基本命題
・命題3-1：人は主観的評価が客観的評価を上回る財を取得する