不偏性について / 推定量の性質

 「あの人にはバイアスがかかっている」「世の中を色メガネで見ている」「考え方が偏っている」「考え方の癖が強い」。これらはバイアスに関する表現である。しかし、バイアスとは何かを問われるとなかなか答えづらい。

 そこで、統計学の概念をヒントにしよう。統計学では、推定量にバイアスがないことを不偏性(unbiasedness)と言う。統計学は母集団のパラメーターθを知ろうとするが、標本から推定するしかない。パラメーターが推定量の期待値と等しいとき、その推定量には不偏性があるという。例えば、パラメーターが80で、赤と青の推定量を用いて推定するとしよう。図1のように分布するならば、赤の推定量には不偏性があり、青の推定量には不偏性がない。

図1:不偏性のある赤の推定量、不偏性のない青の推定量
出典:しまうま総研(2023)
解説:コードは付録に掲載

$$不偏性の定義:E \left( \widehat{ \theta} \right)= \theta$$

$$\theta:パラメーター(確定変数)$$

$$\widehat{\theta}:\thetaの推定量(確率変数)$$

$$E \left( \widehat{ \theta} \right):\thetaの推定量の期待値(確定変数)$$

 

 「バイアスがない」=「間違っていない」ではないことに注意すべきだ。「バイアスがない」=「間違い方に規則性がない。ゆえに、思考が平均的に正しい」である。パラメーターを真理、推定量を思考と読み替えて、不偏性を解釈すると、このように解釈することができる。

$$バイアス=E \left( \widehat{ \theta} \right)-\theta=0 平均的に正しい$$

$$誤差=\widehat{ \theta}-\theta=0 正しい$$

 

【追記】

 作図はRを用いて次のコードで実行した。

library(ggplot2)
ggplot(data = data.frame(X = c(60, 100)), aes(x = X))+ 
  stat_function(fun = dnorm, args = list(mean = 80,sd = 5), color="red")+
  stat_function(fun = dnorm, args = list(mean = 75,sd = 3), color="blue")+
  scale_y_continuous(limits=c(0,0.25))+
  xlab("変数")+
  ylab("確率密度")+
  geom_ribbon(data=data.frame(X=x<-seq(60,100,len=101), Y=dnorm(x,mean=75,sd=3)), aes(x=X, ymin=0, ymax=Y),fill="blue",alpha=0.3)+
  geom_ribbon(data=data.frame(X=x<-seq(60,100,len=101), Y=dnorm(x,mean=80,sd=5)), aes(x=X, ymin=0, ymax=Y),fill="red",alpha=0.3)+
  theme_grey(base_family = "HiraKakuPro-W3")+
  geom_vline(xintercept =80 )

統計学
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