T期間にわたる異時点間での最適消費のオイラー方程式をラグランジュの未定乗数法で導出する。このモデルは、ライフサイクルモデル（Life-cycle Model）と呼ばれる。2期間モデルでの最適消費の記事も参考にしてほしい。さて、最適消費は、次のように定式化できる。
$$\max U=\sum_{t=0}^T \beta^t u(c_t)$$
$$Uは効用の割引現在価値 [全期間]、u(\cdot)＝効用関数 [1期間 ]$$
$$\beta＝割引因子、c_t＝t期の消費、Tは期間数$$
$$求めるべきは消費計画 \{c_1,c_2,\cdots , c_T \}、貯蓄計画\{a_1,a_2, \cdots ,a_{T}\}$$
$$所与の定数は所得計画\{y_1,y_2, \cdots y_T\}と初期保有資産A_0$$
$$s.t.（制約条件）$$
$$すべての期について消費c + 貯蓄a=所得y+資産a$$
$$0期：c_0 + a_{0}=y_0+A_0 ※A_0は初期保有資産$$
$$1期：c_1 + a_{1}=y_1+(1+r)a_0$$
$$2期：c_2 + a_{2}=y_2+(1+r)a_1$$
$$3期：c_3 + a_{3}=y_3+(1+r)a_2$$
$$ \cdots$$
$$t期：c_t + a_{t}=y_t+(1+r)a_{t-1}$$
$$ \cdots$$
$$T-1期：c_{T-1} + a_{T-1}=y_{T-1}+(1+r)a_{T-2}$$
$$T期：c_T + a_{T}=y_T+(1+r)a_{T-1}$$
$$ただし 終点条件a_{T} ≧0。借金残存は許さない。結果的にa_{T} =0$$
異時点間の消費選択問題は、ラグランジュの未定乗数法を用いて計算することができる。
$$制約条件は消費c + 貯蓄a=所得y+資産aとなるT+1本の式で$$
$$ラグランジュ関数Lを次のように設定する$$
$$L＝\sum_{t=0}^T \beta^t u(c_t)+\sum_{t=0}^T \lambda_t [y_t+(1+r)a_{t-1}-c_t – a_{t}]$$
$$c_tとa_{t}について偏微分したものがゼロだから$$
$$c_t ：\beta^t u'(c_t)-\lambda_t=0$$
$$a_{t} ：-\lambda_t+\lambda_{t+1} (1+r)=0$$
$$よって u'(c_t)=\beta (1+r) u'(c_{t+1})・・・オイラー方程式$$
我慢強さを持ち、経済が成長を続けるなら、来期の生活水準は上がりやすい。もし効用関数を対数と特定化すると、1期進むごとに消費はβ(1+r)倍になる。つまり、将来消費をしっかり考慮する我慢強さを持つなら（＝割引因子βが1に近い。なお0<β<1）、来期の消費は増加しやすい。経済成長が続いているなら（＝利子率rが大きい）、来期の消費は増加しやすい。長期的には利子率rの調整を通じて定常状態に至るかもしれないが、短期的には以上のように言える。
$$効用関数の特定化：u(c_{t})=\log (c_t)$$
$$\frac{d \log (c_t)}{ d c_t}=\frac{1}{c_t}とオイラー方程式より$$
$$c_{t+1}=\beta(1+r)c_t$$
$$c_t=[\beta (1+r)]^tc_0$$
【追記】
・予算制約式
T期モデルの制約条件から、
$$消費の割引現在価値=所得の割引現在価値+初期保有資産$$
という予算制約式が導ける。これは効用関数の形状に関わらず成り立つ。計算してみよう。まず制約条件は
$$1期：c_1 + a_{1}=y_1+A_0$$
$$2期：c_2 + a_{2}=y_2+(1+r)a_1$$
$$3期：c_3 + a_{3}=y_3+(1+r)a_2$$
$$ \cdots$$
$$t期：c_t + a_{t}=y_t+(1+r)a_{t-1}$$
$$ \cdots$$
$$T期：c_T + a_{T}=y_T+(1+r)a_{T-1} ただしa_{T}=0$$
であるが、1期での現在価値に直して、aT=0を考慮すると
$$1期：c_1 + a_{1}=y_1+A_0$$
$$2期：\frac{c_2}{1+r} + \frac{a_{2}}{1+r}=\frac{y_2}{1+r}+a_1$$
$$3期：\frac{c_3}{(1+r)^2} + \frac{a_{3}}{(1+r)^2}=\frac{y_3}{(1+r)^2}+\frac{a_2}{(1+r)}$$
$$ \cdots$$
$$t期：\frac{c_t}{(1+r)^{t-1}} + \frac{a_{t}}{(1+r)^{t-1}}=\frac{y_t}{(1+r)^{t-1}}+\frac{a_{t-1}}{(1+r)^{t-2}}$$
$$t+1期：\frac{c_{t+1}}{(1+r)^{t}} + \frac{a_{t+1}}{(1+r)^{t}}=\frac{y_{t+1}}{(1+r)^{t}}+\frac{a_{t}}{(1+r)^{t-1}}$$
$$ \cdots$$
$$T-1期：\frac{c_{T-1}}{(1+r)^{T-2}} + \frac{a_{T-1}}{(1+r)^{T-2}}=\frac{y_{T-1}}{(1+r)^{T-2}}+\frac{a_{T-2}}{(1+r)^{T-3}}$$
$$T期：\frac{c_T}{(1+r)^{T-1}} =\frac{y_T}{(1+r)^{T-1}}+\frac{a_{T-1}}{(1+r)^{T-2}}$$
両辺を和して、左辺と右辺のaを引いてやると
$$\sum_{t=1}^{T} \frac{c_t}{(1+r)^{t-1}}=\sum_{t=1}^{T} \frac{y_t}{(1+r)^{t-1}}+A_0$$
恒常所得（所得の割引現在価値）を大文字で表して、消費のΣをバラすと
$$c_1+\frac{c_{2}}{1+r}+\frac{c_{3}}{(1+r)^2}+\cdots + \frac{c_{T}}{(1+r)^{T-1}}=Y+A_0$$
という予算制約式となる。
・ポンジゲーム禁止条件
T→∞という無限期間モデルを考えると、ポンジゲーム禁止条件が必要になる。これは無限期後に借金をすることを禁止する。
$$\lim_{T→∞} \frac{a_{T}}{(1+r)^{T-1}}≧0$$
先ほどのT期に貯蓄を書き込むと
$$T期：\frac{c_T}{(1+r)^{T-1}} + \frac{a_{T}}{(1+r)^{T-1}}=\frac{y_T}{(1+r)^{T-1}}+\frac{a_{T-1}}{(1+r)^{T-2}}$$
となり、予算制約式は
$$\sum_{t=1}^{T} \left[ \frac{c_t}{(1+r)^{t-1}} \right]+ \frac{a_{T}}{(1+r)^{T-1}}=\sum_{t=1}^{T} \frac{y_t}{(1+r)^{t-1}}+A_0$$
となる。ポンジゲーム禁止条件の一部が左辺2項目に現れている。