ニューケインジアン・モデルの「ニュー」たる所以は、ミクロ的基礎づけをもつモデルであることである。この記事ではミクロ的基礎づけについての議論を行う。
結論だけ先取りしておく。
・オイラー方程式（問A-1。消費の異時点間代替についての方程式。利子率iが上がると今期の消費Ctが上がり、来期の期待インフレ率が上がると今期の消費が下がる。）
$$ C_{t}^{\chi_C}=C_{t+1}^{\chi_C} \frac{\beta (1+i_t )}{1+\pi_{t+1}} $$
・労働余暇選択式（問A-1。今期の労働と余暇の選択についての方程式。賃金wが上がると、労働Lが増える。保有時間ー労働＝余暇。余暇とはある意味、失業。）
$$w_t=L_t^{\chi_L} C_t^{\chi_C}$$
・ニューケインジアン・フィリップス曲線（問B-4。今期のインフレ率πに関する方程式。今期の賃金w_tが増えると物価上昇、来季の期待インフレ率π_{t+1}が上がると物価上昇。複雑だがこのフィリップス曲線が最も重要。対数線形近似すれば読みやすくなる。）
$$\phi_m \pi_t (1+\pi_t) =(1+g )(1- \theta ) + \theta w_t + \beta \left( \frac{C_t}{C_{t+1}} \right) ^{\chi_c} \left( \frac{Y_{t+1}}{Y_t} \right) \phi_m \pi_{t+1} (1+\pi_{t+1}) $$
・最終財市場均衡条件（問C-1。最終財の需要は消費と価格調整コストによって喚起される。最終財の供給は労働によって決定する。）
$$需要：Y_{t}=C_t+\frac{\phi_m}{2} \pi_t ^2 Y_{t} $$
$$供給：Y_{t}=F(L_t)=L_t $$
というような複雑な方程式を導くのにこの記事は費やされるので読みたくない方は読まなくてもよい。「ニューケインジアン・モデル」解説シリーズの中で第２〜第４回はスキップ推奨である。
「ニューケインジアン・モデル」解説シリーズ
企画：「しまうま総研 より良い社会のための思考法 / 3段落で簡潔明瞭」＞「よりよい社会のための経済学入門」＞「ニューケインジアン・モデルについて」
第１回：ニューケインジアン・モデルについて（必読 / 難易度中）
第２回：家計、最終財企業、中間財企業、市場均衡条件のミクロ的基礎について （スキップ可 / 難易度高）
第３回：非線形動学と非線形定常均衡について（スキップ可 / 難易度高）
第４回：対数線形化と対数線形近似について（スキップ可 / 難易度高）
第５回：GDPギャップとインフレの社会厚生について
第５回：テイラー・ルールと定常均衡について
第６回：中間財市場と最適財政政策について（必読 / 難易度中）
第７回：労働市場と非効率な雇用水準について
第８回：最終財市場とGDPギャップについて
第９回：独占的競争と短期なインフレについて
第10回：粘着的な価格とインフレの平準化について
第1１回：最適金融政策とインフレ・バイアスについて
第１2回：動学的確率的一般均衡モデルへの拡張について
第1３回：Dynareを用いたシミュレーションについて
補講：DynareをMATLABで動かすための環境構築について / DynareをOctaveで動かすための環境構築について
主要な参考資料
・仲田泰祐（2020）「ゼロ金利制約下の 金融政策 FRBの政策運営」 （モデルは仲田（2020）と同じ）
・楡井誠（2023）「マクロ経済動学: 景気循環の起源の解明」
問A：オイラー方程式
問A-１（家計）オイラー方程式、労働余暇選択式
問A-１：次の家計の最適化問題から、オイラー方程式と労働余暇選択式を導け。
$$\max_{ \{ C_t,L_t,B_t \}^{\infty}_{t=1}} \sum_{t=1}^{\infty} \beta^{t-1} U(C_t,L_t)$$
$$t期の予算制約：P_t C_t + B_t =W_t L_t +(1+i_{t-1})B_{t-1}+ \Phi_t – T_t$$
$$予算制約はt=1,2 \cdots \inftyについて成り立つ。$$
$$効用関数U(C_t,L_t)=\frac{C_t^{1-\chi_C}-1}{1-\chi_C} -\frac{L_t^{1+\chi_L}}{1+\chi_L}$$
まず予算制約式を物価Pで割って実質に変換する。
$$t期の予算制約：P_t C_t + B_t =W_t L_t +(1+i_{t-1})B_{t-1}+ \Phi_t – T_t$$
$$t期の予算制約：C_t + \frac{B_t}{P_t} =w_t L_t +(1+i_{t-1}) \frac{B_{t-1}}{P_t}+ \frac{\Phi_t}{P_r} – \frac{T_t}{P_t}$$
予算制約付き効用最大化問題は、ラグランジュの未定乗数法で解くことができる。ラグランジュ乗数λを設定することで、ラグランジュ関数の最大化問題に帰着できる。
$$ラグランジュ関数\Lambda(C_1,L_1,B_1,\cdots,C_t,L_t,B_t,\cdots)を次のように設定する。$$
$$\Lambda=\sum_{t=1}^{\infty} \beta^{t-1} \left(\frac{C_t^{1-\chi_C}-1}{1-\chi_C} -\frac{L_t^{1+\chi_L}}{1+\chi_L} \right) $$
$$+ \sum_{t=1}^{\infty} \lambda_{t,true} \left(w_t L_t +(1+i_{t-1}) \frac{B_{t-1}}{P_t}+ \frac{\Phi_t}{P_r} – \frac{T_t}{P_t} -C_t – \frac{B_t}{P_t}\right) $$
$$ここで \lambda_{t,true}= \beta^{t-1} \lambda_{t}と考えて$$
$$\Lambda=\sum_{t=1}^{\infty} \beta^{t-1} \left[ \left( \frac{C_t^{1-\chi_C}-1}{1-\chi_C} -\frac{L_t^{1+\chi_L}}{1+\chi_L} \right) + \lambda_{t} \left(w_t L_t +(1+i_{t-1}) \frac{B_{t-1}}{P_t}+ \frac{\Phi_t}{P_r} – \frac{T_t}{P_t} -C_t – \frac{B_t}{P_t}\right) \right]$$
このラグランジュ関数が最大化されるには
$$\frac{\partial \Lambda}{\partial C_t} = \frac{\partial \Lambda}{\partial B_t}=\frac{\partial \Lambda}{\partial L_t}=0$$
が必要である。現在の消費を調整して効用最大化する式（１）、国債（≒貯蓄＝将来の消費）を調整して効用最大化する式（２）、労働（↔︎余暇）を調整して効用最大化する式（３）の３つが立てられる。
$$(式１)\frac{\partial \Lambda}{\partial C_t}=\beta^{t-1} \frac{1-\chi_C}{1-\chi_C}C_t^{1-\chi_C -1} – \beta^{t-1} \lambda_{t}=0$$
$$ゆえに\lambda_{t}=\frac{1}{C_t^{\chi_C}}$$
$$(式２)\frac{\partial \Lambda}{\partial B_t}=\beta^{t} \lambda_{t+1} (1+i_t) \frac{1}{P_{t+1}} – \beta^{t-1} \lambda_{t} \frac{1}{ P_{t}}=0$$
$$ ゆえに\lambda_{t+1} \beta (1+i_t ) \frac{P_{t}}{P_{t+1}}=\lambda_{t}$$
$$(式３)\frac{\partial \Lambda}{\partial L_t}=-\beta^{t-1} \frac{1+\chi_L}{1-\chi_L}L_t^{1-\chi_L -1} + \beta^{t-1} \lambda_{t} w_t=0$$
$$ ゆえに w_t \lambda_{t}=L_t^{\chi_L}$$
現在消費の式(１)と将来消費の式（２）を利用して、消費の異時点間選択に関するオイラー方程式を導出できる。
$$\frac{1}{C_{t+1}^{\chi_C}} \beta (1+i_t ) \frac{P_{t}}{P_{t+1}}= \frac{1}{C_{t}^{\chi_C}}$$
$$C_{t+1}^{\chi_C} \frac{\beta (1+i_t )}{1+\pi_{t+1}} = C_{t}^{\chi_C}$$
$$ただし、\pi_t=\frac{P_{t}}{P_{t-1}}-1$$
↑がオイラー方程式である。割引因子β、名目利子率i、期待インフレ率π_t+1が含まれている。次に、現在消費の式(１)と現在労働の式（３）を利用して、労働余暇選択式が導ける。
$$w_t \frac{1}{C_t^{\chi_C}}=L_t^{\chi_L}$$
$$w_t=L_t^{\chi_L} C_t^{\chi_C}$$
↑が労働余暇選択式である。実質賃金w=W/Pによって労働が増加する。
問B：ニューケインジアン・フィリップス曲線
問B-1：中間財の需要曲線
問B-1（最終財企業）次の最終財企業の最適化問題から、中間財の需要曲線を導け。
$$\max_{\{ Y_{i,t} \}^{N}_{i=1}} P_t Y_t -\sum_{i=1}^N P_{i,t} Y_{i,t}$$
$$技術制約：Y_t=\left( \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (NY_{i,t} )^{\frac{\theta – 1}{\theta }} \right)^{\frac{\theta}{\theta -1}}$$
技術制約付き利潤最大化問題は、ラグランジュ関数の最大化問題に帰着できる。
$$ラグランジュ関数\Lambda(Y_t,Y_{1,t},\cdots , Y_{i,t}, \cdots , Y_{N,t})を次のように設定する。$$
$$\Lambda=\left[ P_t Y_t -\sum_{i=1}^N P_{i,t} Y_{i,t} \right] + \mu_t \left[ \left( \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (NY_{i,t} ) ^{\frac{\theta – 1}{\theta }} \right)^{\frac{\theta}{\theta -1}} -Y_t \right]$$
このラグランジュ関数が最大化されるには
$$\frac{\partial \Lambda}{\partial Y_t} = \frac{\partial \Lambda}{\partial Y_{i,t}}=0$$
が必要である。最終財生産を調整して利潤最大化する式（４）、中間財仕入れを調整して利潤最大化する式（５）の２つが立てられる。
$$式(４)\frac{\partial \Lambda}{\partial Y_t} =P_t – \mu_t=0$$
$$ゆえに P_t = \mu_t$$
$$式(5)\frac{\partial \Lambda}{\partial Y_{i,t}}=-P_{i,t} +\mu_t \frac{\partial}{\partial Y_{i,t} } \left[ \left( \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (NY_{i,t} ) ^{\frac{\theta – 1}{\theta }} \right)^{\frac{\theta}{\theta -1}} -Y_t \right]=0$$
微分が難しい部分は合成関数の微分を用いる。
$$微分が難しい部分\frac{\partial}{\partial Y_{i,t} } \left[ \left(\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (NY_{i,t} ) ^{\frac{\theta – 1}{\theta }} \right)^{\frac{\theta}{\theta -1}} -Y_t \right]であるが$$
$$合成微分の公式\frac{\partial F(G(X))}{\partial X}=\frac{\partial F(G)}{\partial G} \frac{\partial G}{\partial X}を思い出して$$
$$X=Y_{i,t} , G= \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (NY_{i,t} ) ^{\frac{\theta – 1}{\theta }} , F(G) = G^{\frac{\theta }{\theta-1}} -Y_tとすると$$
$$\frac{\partial}{\partial Y_{i,t} } \left[ \left( \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (NY_{i,t} ) ^{\frac{\theta – 1}{\theta }} \right)^{\frac{\theta}{\theta -1}} -Y_t \right]$$
$$=\frac{\theta}{\theta -1} G^{\frac{1}{\theta -1 }} \frac{\theta- 1}{\theta} \frac{1}{N} N^{\frac{\theta – 1}{\theta }} Y_{i,t}^{\frac{-1}{\theta}}$$
$$= G^{\frac{1}{\theta -1 }} (N Y_{i,t})^{\frac{-1}{\theta}}$$
$$ここでG=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (N Y_{i,t}) ^{\frac{\theta – 1}{\theta }}=Y_t^{\frac{\theta-1}{\theta}}より$$
$$\frac{\partial}{\partial Y_{i,t} } \left[ \left( \sum_{i=1}^N Y_{i,t} ^{\frac{\theta – 1}{\theta }} \right)^{\frac{\theta}{\theta -1}} -Y_t \right]= G^{\frac{1}{\theta -1}} Y_{i,t}^{\frac{-1}{\theta}}=Y_t^{\frac{1}{\theta }} Y_{i,t}^{\frac{-1}{\theta}}$$
$$よって、式（５）は -P_{i,t} + \mu_t Y_t^{\frac{1}{\theta }} (N Y_{i,t})^{\frac{-1}{\theta}}=0$$
$$式(４)P_t = \mu_tを式（５）に代入すると$$
$$-P_{i,t} + P_t Y_t^{\frac{1}{\theta }} (N Y_{i,t})^{\frac{-1}{\theta}}=0$$
$$ P_{i,t} = P_t Y_t^{\frac{1}{\theta }} (N Y_{i,t})^{\frac{-1}{\theta}}$$
$$\frac{ P_{i,t}}{P_t} = \left( \frac{(N Y_{i,t})}{Y_t} \right) ^{\frac{-1}{\theta}}・・・逆需要関数$$
$$\left( \frac{ P_{i,t}}{P_t} \right)^{\theta} = Y_t (N Y_{i,t})^{-1}$$
$$Y_{i,t}=\left[ \frac{ P_{i,t}}{P_t} \right]^{-\theta} \frac{Y_t}{N}・・・需要関数$$
これは中間財の需要は、最終財と中間財の相対価格によって決定される。中間財iが相対的に高くなると、中間財iの需要は減る。
問B-2：中間財のフィリップス曲線
問B-2：次の中間財企業の最適化問題から、中間財についてのフィリップス曲線を導け。
$$\max_{\{ P_{i,t}, Y_{i,t},L_{i,t} \}^{N}_{i=1}} \sum_{t=1}^{\infty} \beta^{t-1} \lambda_t \left( \frac{\Phi_{i,t}}{P_t} \right)$$
$$利潤\Phi_{i,t} =P_{i,t} Y_{i,t} -W_t L_{i,t} +g P_{i,t} Y_{i,t}-\frac{\phi_m}{2N} \left[ \frac{P_{i,t}}{P_{i,t-1}}-1 \right]^2 P_{t} Y_{t}$$
$$技術制約：Y_{i,t}= L_{i,t}$$
$$需要制約：Y_{i,t}=\left[ \frac{ P_{i,t}}{P_t} \right]^{-\theta} \frac{Y_t}{N}$$
1期の中間財企業は、中間財生産量、中間財価格、労働投入量を決められる。中間財企業の最適行動は、技術制約、需要曲線制約付き利潤最大化問題は、ラグランジュ関数の最大化問題に帰着できる。
$$ラグランジュ関数\Lambda(P_{1,t},Y_{1,t},L_{1,t},\cdots)を次のように設定する。$$
$$\Lambda=\sum_{t=1}^{\infty} \beta^{t-1} \lambda_t \frac{1}{P_t} \left[ (1+g )P_{i,t} Y_{i,t} -W_t L_{i,t} -\frac{\phi_m}{2N} \Biggr[ \frac{P_{i,t}}{P_{i,t-1}}-1 \right]^2 P_t Y_t $$
$$+\mu_{i,t} \left( \left[ \frac{P_{i,t}}{P_t} \right]^{-\theta} \frac{Y_t}{N} – Y_{i,t} \right) + \gamma_{i,t} (L_{i,t} – Y_{i,t}) \Biggr]$$
このラグランジュ関数が最大化されるには
$$\frac{\partial \Lambda}{\partial Y_{i,t}} = \frac{\partial \Lambda}{\partial L_{i,t}}=\frac{\partial \Lambda}{\partial P_{i,t}}=0$$
が必要である。現在の中間財の生産量を調整して利潤最大化する式（６）、現在の労働投入量を調整して利潤最大化する式（７）、現在の中間財価格を調整して利潤最大化する式（８）の３つが立てられる。
$$式(６)\frac{\partial \Lambda}{\partial Y_{i,t}}=(1+g)P_{i,t} – \mu_{i,t} – \gamma_{i,t}=0$$
$$式(７)\frac{\partial \Lambda}{\partial L_{i,t}}=-W_t + \gamma_{i,t} =0$$
$$式(６)と式（７）より$$
$$\gamma_{i,t}=W_t$$
$$\mu_{i,t}=(1+g)P_{i,t} – \gamma_{i,t}=(1+g)P_{i,t} – W_t$$
$$式(８)\frac{\partial \Lambda}{\partial P_{i,t}}=0が難解である。$$
合成微分の公式とラグランジュ関数（↓）を思い出して
$$\Lambda=\sum_{t=1}^{\infty} \beta^{t-1} \lambda_t \frac{1}{P_t} \left[ (1+g )P_{i,t} Y_{i,t} -W_t L_{i,t} -\frac{\phi_m}{2N} \Biggr[ \frac{P_{i,t}}{P_{i,t-1}}-1 \right]^2 P_t Y_t $$
$$+\mu_{i,t} \left( \left[ \frac{ P_{i,t}}{P_t} \right]^{-\theta} \frac{Y_t}{N} – Y_{i,t} \right) + \gamma_{i,t} (L_{i,t} – Y_{i,t}) \Biggr]と$$
t期の中間財価格の変化はt期の売上、補助金、メニューコスト、中間財需要と、t+1期のメニューコストに影響することに注目しつつ
$$\frac{\partial \Lambda}{\partial P_{i,t}}=(t期の部分)+(t+1期の部分)$$
$$=\beta^{t-1} \lambda_t \frac{1}{P_t} \left[ (1+g )Y_{i,t} -\frac{\phi_m}{N} \left( \frac{P_{i,t}}{P_{i,t-1}}-1 \right) \frac{1}{P_{i,t-1}} P_t Y_t – \mu_{i,t} \theta P_t ^{\theta}P_{i,t}^{-\theta-1} \frac{Y_t}{N} \right]$$
$$+\beta^{t} \lambda_{t+1} \frac{1}{P_{t+1}} \left[ \frac{\phi_m}{N} \left( \frac{P_{i,t+1}}{P_{i,t}}-1 \right) \frac{P_{i,t+1}}{P_{i,t}^2} P_{t+1} Y_{t+1} \right]=0$$
$$両辺に\frac{P_t}{\beta^{t-1}}を掛けて、少し整理すると$$
$$\lambda_t \left[ (1+g )Y_{i,t} -\frac{\phi_m}{N} \left( \frac{P_{i,t}}{P_{i,t-1}}-1 \right) \frac{P_t}{P_{i,t-1}} Y_t – \mu_{i,t} \theta \left( \frac{ P_{i,t}}{P_t} \right) ^{-\theta-1} \frac{ Y_t}{N P_t} \right]$$
$$+\beta \lambda_{t+1} \frac{P_t}{P_{t+1}} \left[ \frac{\phi_m}{N} \left( \frac{P_{i,t+1}}{P_{i,t}}-1 \right) \frac{P_{i,t+1}}{P_{i,t}} \frac{P_{t+1}}{P_{i,t}} Y_{t+1} \right]=0$$
と式（８）はなる。ここで式（６）と式（７）から導かれた式を、式（８）に代入する。
$$\mu_{i,t}=(1+g)P_{i,t} – W_tを代入して$$
$$\lambda_t \left[ (1+g )Y_{i,t} -\frac{\phi_m}{N} \left( \frac{P_{i,t}}{P_{i,t-1}}-1 \right) \frac{P_t}{P_{i,t-1}} Y_t – \left( (1+g)P_{i,t} – W_t \right) \theta \left( \frac{P_{i,t}}{P_t} \right) ^{-\theta-1} \frac{ Y_t}{N P_t} \right]$$
$$+\beta \lambda_{t+1} \frac{P_t}{P_{t+1}} \left[ \frac{\phi_m}{N} \left( \frac{P_{i,t+1}}{P_{i,t}}-1 \right) \frac{P_{i,t+1}}{P_{i,t}} \frac{P_{t+1}}{P_{i,t}} Y_{t+1} \right]=0$$
↑が中間財企業1社の最適化行動である。
問B-3：独占的競争と一般均衡
問B-3：次の問いに答えよ。
（１）最終財企業は完全競争に直面しており、利潤＝０で最終財生産量を決定することを述べよ。
（２）最終財価格を中間財価格で表せ。ただし、中間財価格は独占企業である中間財企業によって操作されている。
（３）等質な中間財企業は同じ中間財価格、中間財生産量を選択することと（２）の結果を用いて、中間財価格の物価上昇率＝最終財価格上昇率＝インフレ率になることを述べよ。
（４）等質な中間財企業は同じ中間財価格、中間財生産量を選択することとCES型生産関数を用いて、中間財生産量を最終財生産量で表せ。
（解答）
（１）
最終財企業は完全競争に直面しているので、利潤はゼロである。なぜなら、利潤＞０ならば新規参入者が登場し、利潤＝０になるまで最終財価格が下落する。逆に利潤＜０ならば退出者が発生し、利潤＝０になるまで最終財価格が上昇する。つまり
$$P_t Y_t -\sum_{i=1}^N P_{i,t} Y_{i,t}=0 $$
（２）
中間財企業は独占的競争をしているので、中間財価格を釣り上げてくる。そのために、需要のある範囲内で、生産量を調整する。
$$需要：Y_{i,t}=\left[ \frac{ P_{i,t}}{P_t} \right]^{-\theta} \frac{Y_t}{N}$$
したがって、最終財企業の利潤は
$$P_t Y_t -\sum_{i=1}^N P_{i,t} Y_{i,t}=0 $$
$$P_t Y_t -\sum_{i=1}^N P_{i,t} \left[ \frac{P_{i,t}}{P_t} \right]^{-\theta} \frac{Y_t}{N}=0 $$
$$P_t =\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N P_{i,t} \left[ \frac{P_{i,t}}{P_t} \right]^{-\theta} $$
$$P_t^{1-\theta} =\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N P_{i,t} \left[ \frac{P_{i,t}}{P_t} \right]^{-\theta} $$
$$P_t=N^{-1} \sum_{i=1}^N P_{i,t} ^{1-\theta} $$
$$P_t =N^{\frac{-1}{1-\theta}} \left( \sum_{i=1}^N P_{i,t} ^{1-\theta}\right)^{\frac{1}{1-\theta}}$$
（３）
中間財企業は、利潤の構造、直面する技術制約、需要制約が等しい。等質な中間財企業の意思決定は、同じになる。つまり、
$$P_{1,t}=P_{2,t}=\cdots =P_{i,t} =\cdots= P_{N,t}$$
（２）の結果に代入すると
$$P_t =N^{\frac{-1}{1-\theta}} \left( \sum_{i=1}^N P_{i,t} ^{1-\theta}\right)^{\frac{1}{1-\theta}}$$
$$P_t =N^{\frac{-1}{1-\theta}} \left( N P_{i,t} ^{1-\theta}\right)^{\frac{1}{1-\theta}}$$
$$=N^{\frac{-1}{1-\theta}} N^{\frac{1}{1-\theta}} \left( P_{i,t} ^{1-\theta}\right)^{\frac{1}{1-\theta}}$$
$$= P_{i,t} $$
つまり
$$P_{i,t}=P_t $$
である。よって
$$\frac{P_t }{P_{t-1} }=\frac{P_{i,t } }{ P_{i,t-1} }$$
（4）独占的競争をする等質な中間財企業
中間財企業は、利潤の構造、直面する技術制約、需要制約が等しい。等質な中間財企業の意思決定は、同じになる。つまり、
$$Y_{1,t}=Y_{2,t}=\cdots =Y_{i,t} =\cdots= Y_{N,t} $$
ここで最終財企業のCES型生産関数に（１）の結果を代入すると
$$Y_t=\left(\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N (N Y_{i,t}) ^{\frac{\theta – 1}{\theta }} \right)^{\frac{\theta}{\theta -1}}=\left( \frac{1}{N} (N Y_{i,t}) ^{\frac{\theta – 1}{\theta }} \right)^{\frac{\theta}{\theta -1}}=N Y_{i,t}$$
$$Y_{i,t}=\frac{1}{N}Y_t$$
問B-4：ニューケインジアン・フィリップス曲線
今までの結果からニューケインジアン・フィリップス曲線を導け。また、単純化のために中間財企業の数は１社として考えよ。
（解答）
整理しよう。問３で求めた中間財企業１社のフィリップス曲線は
$$\lambda_t \left[ (1+g )Y_{i,t} -\frac{\phi_m}{N} \left( \frac{P_{i,t}}{P_{i,t-1}}-1 \right) \frac{P_t}{P_{i,t-1}} Y_t – \left( (1+g)P_{i,t} – W_t \right) \theta \left( \frac{P_{i,t}}{P_t} \right) ^{-\theta-1} \frac{ Y_t}{N P_t} \right]$$
$$+\beta \lambda_{t+1} \frac{P_t}{P_{t+1}} \left[ \frac{\phi_m}{N} \left( \frac{P_{i,t+1}}{P_{i,t}}-1 \right) \frac{P_{i,t+1}}{P_{i,t}} \frac{P_{t+1}}{P_{i,t}} Y_{t+1} \right]=0$$
である。そして、問４で求めたのは
$$Y_{i,t}=\frac{Y_t}{N}、P_{i,t}= P_t 、\frac{P_t}{P_{t-1}}=\frac{P_{i,t}}{P_{i,t-1}}$$
である。
$$\lambda_t \left[ (1+g )\frac{Y_t}{N} -\frac{\phi_m}{N} \left( \frac{P_{t}}{P_{t-1}}-1 \right) \frac{P_t}{P_{t-1}} Y_t – \left( (1+g)P_{t} – W_t \right) \theta \left( \frac{P_{t}}{P_t} \right) ^{-\theta-1} \frac{ Y_t}{N P_t} \right]$$
$$+\beta \lambda_{t+1} \frac{P_t}{P_{t+1}} \left[ \frac{\phi_m}{N} \left( \frac{P_{t+1}}{P_{t}}-1 \right) \frac{P_{t+1}}{P_{t}} \frac{P_{t+1}}{P_{t}} Y_{t+1} \right]=0$$
$$両辺にN を掛けて、少し整理すると$$
$$\lambda_t \left[ (1+g )Y_t -\phi_m \left( \frac{P_{t}}{P_{t-1}}-1 \right) \frac{P_t}{P_{t-1}} Y_t – \left( (1+g)P_{t} – W_t \right) \theta \left( \frac{P_{t}}{P_t} \right) ^{-\theta-1} \frac{ Y_t}{ P_t} \right]$$
$$+\beta \lambda_{t+1} \frac{P_t}{P_{t+1}} \left[ \phi_m \left( \frac{P_{t+1}}{P_{t}}-1 \right) \frac{P_{t+1}}{P_{t}} \frac{P_{t+1}}{P_{t}} Y_{t+1} \right]=0$$
ここでインフレ率πと実質賃金wを導入する。
$$1+\pi_t=\frac{P_{t}}{P_{t-1}}、w_t=\frac{W_{t}}{P_{t}}$$
すると、次のように書き換えられる。
$$\lambda_t \left[ (1+g )Y_{t} -\phi_m \pi_t (1+\pi_{t}) Y_t – (1+g) \theta Y_t + w_t \theta Y_t \right]$$
$$+\beta \lambda_{t+1} \left[ \phi_m \pi_t (1+\pi_t) Y_{t+1} \right]=0$$
最終財企業と中間財企業の最適化行動に、家計の最適化行動を組み込む。
$$\lambda_{t}=\frac{1}{C_t^{\chi_C}}より$$
$$\frac{1}{C_t^{\chi_C}} \left[ (1+g )Y_{t} -\phi_m \pi_t (1+\pi_{t}) Y_t – (1+g) \theta Y_t + w_t \theta Y_t \right]$$
$$+\beta \frac{1}{C_{t+1}^{\chi_C}} \left[ \phi_m \pi_t (1+\pi_t) Y_{t+1} \right]=0$$
$$両辺に\frac{C_t^{\chi_c}}{Y_t}を掛けて$$
$$ (1+g )(1- \theta ) -\phi_m \pi_t (1+\pi_t) – \theta w_t $$
$$+\beta \left( \frac{C_t}{C_{t+1}} \right) ^{\chi_c} \left( \frac{Y_{t+1}}{Y_t} \right) \phi_m \pi_{t+1} (\pi_t+1) =0$$
よって、次のニューケインジアン・フィリップス曲線が描ける。
$$\phi_m \pi_t (1+\pi_t) =(1+g )(1- \theta ) + \theta w_t + \beta \left( \frac{C_t}{C_{t+1}} \right) ^{\chi_c} \left( \frac{Y_{t+1}}{Y_t} \right) \phi_m \pi_{t+1} (1+\pi_{t+1}) $$
問C：市場均衡条件
問C-1（市場均衡条件） 最終財市場における需要
次の家計の予算制約式、中間財企業の利潤、政府の予算制約式より、最終財市場の市場均衡条件を求めよ。
$$家計予算制約：P_t C_t + B_t =W_t L_t +(1+i_{t-1})B_{t-1}+ \Phi_t – T_t$$
$$政府予算制約：g P_t Y_t+(1+i_{t-1})B_{t-1}=B_t+ T_t$$
$$中間財企業の利潤：\Phi_{i,t} =P_{i,t} Y_{i,t} -W_t L_{i,t} +g P_{i,t} Y_{i,t}-\frac{\phi_m}{2N} \left[ \frac{P_{i,t}}{P_{i,t-1}}-1 \right]^2 P_{i,t} Y_{i,t}$$
家計の予算制約より
$$P_t C_t + B_t =W_t L_t +(1+i_{t-1})B_{t-1}+ \Phi_t – T_t$$
$$P_t C_t +B_t+ T_t-(1+i_{t-1})B_{t-1}=W_t L_t + \Phi_t$$
であるが「国債発行額＋税収ー国債償還ー国債利回り＝政府支出G」である。なお、このモデルでは唯一の財政政策が補助金gPYである。
$$P_t C_t +g P_t Y_t=W_t L_t + \Phi_t$$
ここで中間財iを生産する企業の利潤は
$$利潤\Phi_{i,t} =P_{i,t} Y_{i,t} -W_t L_{i,t} +g P_{i,t} Y_{i,t}-\frac{\phi_m}{2N} \left[ \frac{P_{i,t}}{P_{i,t-1}}-1 \right]^2 P_{i,t} Y_{i,t}$$
$$=P_{t} \frac{Y_{t}}{N} -W_t L_{i,t} +g P_{t} \frac{Y_{t}}{N}-\frac{\phi_m}{2N} \left[ \frac{P_{t}}{P_{t-1}}-1 \right]^2 P_{t} Y_{t}$$
ここですべての中間財企業の利潤は
$$利潤\Phi_{t}=\sum_{i=1}^N \Phi_{i,t}$$
$$=\sum_{i=1}^N P_{t} \frac{Y_{t}}{N} -W_t L_{i,t} +g P_{t} \frac{Y_{t}}{N}-\frac{\phi_m}{2N} \left[ \frac{P_{t}}{P_{t-1}}-1 \right]^2 P_{t} Y_{t}$$
$$=P_{t} Y_{t} -W_t \sum_{i=1}^N L_{i,t} +g P_{t} Y_{t}-\frac{N\phi_m}{2N} \left[ \frac{P_{t}}{P_{t-1}}-1 \right]^2 P_{t} Y_{t}$$
$$=P_{t} Y_{t} -W_t L_{t} +g P_{t} Y_{t}-\frac{\phi_m}{2} \left[ \frac{P_{t}}{P_{t-1}}-1 \right]^2 P_{t} Y_{t}$$
↑の中間財企業の利潤Φを家計の予算制約式のΦに代入すると
$$P_t C_t +G=W_t L_t + \Phi_t$$
$$P_t C_t +g P_t Y_t=W_t L_t +P_{t} Y_{t} -W_t L_{t} +g P_t Y_t+\frac{\phi_m}{2} \left[ \frac{P_{t}}{P_{t-1}}-1 \right]^2 P_{t} Y_{t} $$
$$P_t C_t =P_{t} Y_{t}-\frac{\phi_m}{2} \left[ \frac{P_{t}}{P_{t-1}}-1 \right]^2 P_{t} Y_{t} $$
$$Y_{t}=C_t+\frac{\phi_m}{2} \left[ \frac{P_{t}}{P_{t-1}}-1 \right]^2 Y_{t} $$
$$Y_{t}=C_t+\frac{\phi_m}{2} \pi_t ^2 Y_{t} $$
↑が最終財市場の均衡条件である。
問C-2（供給） マクロ生産関数
最終財生産についてのマクロ生産関数を求めよ。
最終財の生産関数は
$$Y_t=\left( \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (NY_{i,t}) ^{\frac{\theta – 1}{\theta }} \right)^{\frac{\theta}{\theta -1}}$$
である。問５より、中間財の生産関数
$$Y_{i,t}=L_{i,t}$$
を代入し、中間財企業の意思決定は等しいことに留意すると
$$Y_t=\left( \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (NY_{i,t}) ^{\frac{\theta – 1}{\theta }} \right)^{\frac{\theta}{\theta -1}}$$
$$=\left( \frac{1}{N} N (NY_{i,t}) ^{\frac{\theta – 1}{\theta }} \right)^{\frac{\theta}{\theta -1}}$$
$$=\left( N^{\frac{\theta – 1}{\theta }} Y_{i,t} ^{\frac{\theta – 1}{\theta }} \right)^{\frac{\theta}{\theta -1}}$$
$$=\left( L_{i,t} ^{\frac{\theta – 1}{\theta }} \right)^{\frac{\theta}{\theta -1}}=L_t$$
となる。Y=Lがマクロ生産関数である。