T期間にわたる異時点間での家計の最適化問題（消費、貯蓄、労働、余暇）をラグランジュの未定乗数法で導出する。「2期の消費選択」「消費と貯蓄のT期モデル」「1期での労働余暇選択」がより簡単なモデルで、この記事ではこれらを統合した。さて、家計の動学的最適化問題は、次のように定式化できる。
$$\max U=\sum_{t=0}^T \beta^t u(c_t, l_t)$$
$$Uは効用の割引現在価値 [全期間]、u(\cdot)＝効用関数 [1期間 ]$$
$$\beta＝割引因子、c_t＝t期の消費、Tは期間数$$
$$l_t＝t期の余暇、h_t＝t期の労働、なおh_t+l_t=1(※保有時間を1とした)$$
$$求めるべきは消費計画 \{c_1,c_2,\cdots , c_T \}、貯蓄計画\{a_1,a_2, \cdots ,a_{T}\}$$
$$さらに労働計画 \{h_1,h_2,\cdots , h_T \}、余暇計画\{l_1,l_2, \cdots ,l_{T}\}$$
$$所与の定数は賃金計画\{w_1,w_2, \cdots w_T\}と初期保有資産A_0$$
$$s.t.（制約条件）$$
$$h_t+l_t=1$$
$$すべての期について消費c + 貯蓄a=労働所得wh+資産a$$
$$1期：c_0 + a_{0}=w_0 h_0+A_0 ※A_0は初期保有資産$$
$$1期：c_1 + a_{1}=w_1 h_1+(1+r)a_0$$
$$2期：c_2 + a_{2}=w_2 h_2+(1+r)a_1$$
$$3期：c_3 + a_{3}=w_3 h_3+(1+r)a_2$$
$$ \cdots$$
$$t期：c_t + a_{t}=w_t h_t+(1+r)a_{t-1}$$
$$ \cdots$$
$$T-1期：c_{T-1} + a_{T-1}=w_{T-1}h_{T-1}+(1+r)a_{T-2}$$
$$T期：c_T + a_{T}=w_{T}h_{T}+(1+r)a_{T-1}$$
$$ただし 終点条件a_{T} ≧0。借金残存は許さない。結果的にa_{T} =0$$
動学的な消費・労働・余暇の選択問題も、ラグランジュの未定乗数法を用いて計算することができる。
$$制約条件は消費c + 貯蓄a=労働所得wl+資産aとなるT+1本の予算制約式と$$
$$労働h_t+余暇l_t=保有時間1となるT+1本の時間制約式であるので$$
$$ラグランジュ関数Lを次のように設定する$$
$$L＝\sum_{t=1}^T \beta^t u(c_t,l_t)+\sum_{t=1}^T \lambda_{t,予算 } [w_t h_t+(1+r)a_{t-1}-c_t – a_{t}]+\sum_{t=1}^T \lambda_{t,時間 }[1-h_t-l_t]$$
$$c_t、l_t,h_t、a_{t}について偏微分したものがゼロだから$$
$$c_t ：\beta^t \frac{\partial u(c_t,l_t) }{\partial c_t}- \lambda_{t,予算 }=0…式(1)$$
$$l_t ：\beta^t \frac{\partial u(c_t,l_t) }{\partial l_t}- \lambda_{t,時間 }=0…式(2)$$
$$h_t ：w_t \lambda_{t,予算 }- \lambda_{t,時間 }=0…式(3)$$
$$a_{t} ：-\lambda_{t,予算 }+\lambda_{t+1,予算 } (1+r)=0…式(4)$$
$$式(1)を式(4)に代入すると$$
$$u'(c_t)=\beta (1+r) u'(c_{t+1})…オイラー方程式$$
$$式(1)式(2)を式(3)に代入すると$$
$$u'(l_{t})=w_t u'(c_{t})…労働余暇選択式$$
面白いのがT期間の家計の最適化行動は、消費については「2期間の消費選択」、労働については「1期間の労働余暇選択」と同じである点である。つまり、示唆も同じである。限界代替率＝価格比という最適化行動の基本に立ち返ると「利子率は今この瞬間にお金を使うことで発生する機会費用である」「賃金とは、余暇を送ることで発生する機会費用である」と言える。
【追記】
・賃金変化は「今期の労働余暇選択」と「異時点間の消費選択」で労働供給に影響を与える
T期の労働も「1期間の労働余暇選択」と同じと述べたが、消費のオイラー方程式との連立方程式となっている点は異なる。だから「賃金が変わっても、1期の労働余暇選択と変わらない」というわけではない。賃金が変わると「異時点間の消費選択」を通じて労働供給も変わってくる。
・コブ・ダグラス(Cobb-Douglas)型効用関数の場合(αは0<α<1の定数）（ミクロ経済学でお馴染み）
$$効用関数の特定化： u(c_t,l_t)= c_t^{\alpha}l_t^{1-\alpha}$$
$$消費余暇選択式u'(l_{t})=w_t u'(c_{t})より$$
$$(1-\alpha)c_t^{\alpha}l_t^{-\alpha}= w_t \alpha c_t^{\alpha-1}l_t^{1-\alpha}$$
$$l_t=\frac{(1-\alpha) c_t}{\alpha } \frac{1}{w_t}$$
$$労働h_t=保有時間1-余暇l_tであるので$$
$$労働h_t=1-\frac{(1-\alpha) c_t}{\alpha } \frac{1}{w_t}$$
・ログ・ログ(Log-log)型効用関数の場合(αは0<α<1の定数）（二神・堀『マクロ経済学』第15章3節「実物的景気循環理論」、ローマー『上級マクロ経済学』第四章「リアル・ビジネス・サイクル理論」で登場）
$$効用関数の特定化： u(c_t,l_t)=\alpha \log(c_t)+(1-\alpha)\log(l_t)$$
$$消費余暇選択式u'(l_{t})=w_t u'(c_{t})より$$
$$\frac{1-\alpha}{l_t}=w_t \frac{\alpha}{c_t}$$
$$l_t=\frac{(1-\alpha) c_t}{\alpha } \frac{1}{w_t}$$
$$労働h_t=保有時間1-余暇l_tであるので$$
$$労働h_t=1-\frac{(1-\alpha) c_t}{\alpha } \frac{1}{w_t}$$