操作変数モデルについて / 内生性への対処

　操作変数モデル（instrumental viables model）は、誤差項Uと「内生変数の説明変数X」が相関する内生性をもつ重回帰モデルで、操作変数Zが存在するモデルである。なお、誤差項Uと「外生変数の説明変数W」は相関しない。そして、操作変数Zとは、誤差項Uとは相関しない（外生性）が、内生変数の説明変数Xとは相関する（関連性）ような変数である。操作変数モデルの場合、操作変数法という推定方法が操作変数使えることが知られている。そして、操作変数の数mは、内生変数の数k以上である必要がある（次数条件）。

$$操作変数モデル　Y=\beta_0 +\beta_1 X_1 + \cdots + \beta_k X_k$$

$$+\beta_{k+1} W_{k+1} + \cdots + \beta_{k+p} W_{k+p}+U$$

$$説明変数の内生性　E(U|X_1,X_2 \cdots X_k)≠0$$

$$外生性と関連性のある操作変数Z_1, \cdots ,Z_mが存在する$$

　

　操作変数モデルをシミュレーションしてみよう。式①は、単回帰モデルだ。しかし、式②と式③にある欠落変数X2によって、説明変数X1と誤差項Uが相関し、内生性が生まれている。一方で、式②と式③より、操作変数Zは説明変数X1には影響を与える（関連性）が、誤差項Uには影響を与えない（外生性）。このモデルにしたがって、ランダムに標本を生成した。β1のパラメーターはプラスなのに、見かけ上はマイナスという強い内生性バイアスがかかっている。最小二乗法(OLS)で推定すると「-4.7」になった。しかし、操作変数法(IV)である2段階最小二乗法(2SLS)で推定すると「+1.96」となり、真の値である「+2」に近い推定ができた。

$$式①：Y=30+2X_1+U$$

$$式②：X_1=10 + X_2 +Z +U_1、式③：U=-10X_2+U_2$$

　

　操作変数があるのであれば、操作変数法を使いたい。操作変数推定量(IV)を用いることで、一致性、漸近正規性をもつ推定が可能になる。問題は、使いやすい操作変数がないことである。

　

【追記】

　作図に用いたRコードはこちら。

#使うパッケージ
library(ggplot2)
library(AER)
　
#標本生成
sample_size <- 1000
X2 <- rnorm(sample_size, mean =0 , sd =2)
u1 <- rnorm(sample_size, mean =0 , sd =1)
u2 <- rnorm(sample_size, mean =0 , sd =1)
Z <- rnorm(sample_size, mean  =0 , sd =1)
X1 <- 10 + X2 + Z + u1
U <- -10*X2 +u2
Y <- 30 + 2*X1 + U
plot(X1,Y)
Data <- data.frame(X1,Y,Z)
　
#図１
library(ggplot2)
ggplot(Data, aes(x = X1,y=Y))+ 
  geom_point()+
  scale_x_continuous(limits = c(0, 20))+
  scale_y_continuous(limits = c(0, 100))+
  geom_smooth(method ="lm")
　
#推定
lm(Y ~ X1, data= Data)　#OLS
　
library(AER)
IV_reg <- ivreg(data = Data, Y ~  X1 |  Z) #IV
summary(IV_reg)